普通のアヒルの子と「みにくいアヒル（つまり白鳥）の子」の似ている度合いは、他のアヒル同士が似ている度合いと数学的には同じである、つまり普通のアヒルの子とみにくいアヒルの子は数学的には「同じぐらい似ているもの」であるという証明です。
すごく大づかみですが、解説すると次のようなことのようです。
例えば、アヒルＡとアヒルＢ、みにくいアヒルＣがいるとして、それ以外のものをＤします。
この世界がこの４つの領域しかないとすると、この世界を表現する（パターン）は、
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
（ＡＢ）（ＡＣ）（ＡＤ）（ＢＣ）（ＢＤ）（ＣＤ）
（ＡＢＣ）（ＡＢＤ）（ＡＣＤ）（ＢＣＤ）
（ＡＢＣＤ＝世界にあるすべてのもの）
（ＡＢＣＤでない＝世界に存在しないもの）
の、１６パターンとなります。
例えば（ＡＢ）というのは「アヒルである」、（ＡＢＤ）というのは「みにくいアヒルの子ではない」という意味です。
この中で、アヒルＡとアヒルＢが共通して入っているパターン（つまり、アヒルＡとアヒルＢが「似ている」要素）は、
（ＡＢ）（ＡＢＣ）（ＡＢＤ）（ＡＢＣＤ）の４つです。
そして、アヒルＡとみにくいアヒルＣが共通して入っているパターンも、
（ＡＣ）（ＡＣＤ）（ＡＢＣ）（ＡＢＣＤ）の４つなのです。
同じようにアヒルＢとみにくいアヒルＣが共通するのも４パターン。
つまり、アヒルＡとアヒルＢが似ている度合いも、アヒルＡとみにくいアヒルＣが似ている度合いも両方とも４／１６（パターン）で、変わらないという理屈です。
これはアヒルＥが入っても、人間Ｆが入ってきても、パターンが増えるだけで似ている度合いは変わりません。
つまり自然界にあるすべてのものは明確に区別できるものではなく、すべて人間の考え方によって決められているにすぎないということです。
こんな事を言われたら、アンデルセンもしょんぼりです。
